Disegna la parabola di equazione y = – x(x – 4)/2. Scrivi l'equazione della parabola simmetrica della parabola data rispetto al punto S(3/2;3/4). Calcola l'area della parte di piano delimitata dalle due parabole.
La parabola ha l'asse di simmetria parallelo all'asse y perché ha equazione del tipo y=ax²+bx+c e concavità rivolta verso il basso perché a=–1/2<0. Gli zeri del trinomio in x sono 0 e 4, dunque (0,0) e (4,0) sono punti della parabola; dunque l'asse di simmetria x=2 rispetto al quale si corrispondono questi due punti è anche l'asse della parabola; dunque il vertice ha ascissa x=2 e ordinata y=–2(2–4)/2=2.
Con la calcolatrice grafica:
in Y=Editor, posto y1(x)= –x(x – 4)/2, si ha la figura a fianco.
Le equazioni della simmetria rispetto a S(3/2;3/4) sono .
Perciò se un punto P(x,y) sta sulla parabola, il punto P'(x',y') simmetrico di P rispetto a S soddisferà l'equazione 3/2–y' = –(3–x')(3–x'–4)/2, ovvero
y'=(x'– 3)(x'+1)/2+3/2 ovvero y'=x'(x'–2)/2; la parabola simmetrica della parabola data ha dunque equazione y=x(x–2)/2.
Posto anche y2(x)= x(x – 2)/2, si ha il grafico a fianco.
L'area cercata è quella della somma di due segmenti parabolici, identici, che hanno la corda di estremi nelle intersezioni tra la due parabole; tali punti intersezione sono evidentemente O(0,0) e di ascissa x tale che
–(x–4)=x–2, cioè A(3,3/2).
L'area di uno dei due segmenti parabolici è 4/3 dell'area del triangolo OAT dove T è il punto di tangenza della parallela alla retta OA. Per determinare le coordinate del punto risolviamo il sistema
Ad esempio con la calcolatrice simbolica:
solve(1/2x+q=x(x–2)/2,x) si ottiene or
e quindi la condizione di tangenza è 8q+9=0 da cui q=–9/8 e inoltre le coordinate del puto di tangenza sono x=3/2, y=3/2(3/2–2)/2=–3/8. L'area del triangolo OAT è dunque
abs(det({{0,0,1},{3/2,–3/8,1},{3,3/2,1}}))/2
cioè 27/16.
In conclusione la nostra area vale 2·4/3·27/16=9/2.
Data la parabola di equazione y = (x – 3)2: disegnala; determina l'equazione della direttrice d; determina le coordinate dei punti A e B della parabola tali che dist(P,asse y)+dist(P,d) = 13/4; determina l'area del triangolo formato dalle due tangenti alla parabola in A e in B e dalla retta AB.
La parabola ha l'asse di simmetria parallelo all'asse y perché ha equazione del tipo y=ax²+bx+c e concavità rivolta verso l'alto perché a=1>0. Poiché il trinomio di secondo grado ha due soluzioni coincidenti x=3, la parabola è tangente all'asse x e il vertice ha coordinate (3,0). La distanza del fuoco dalla direttrice è 1/(4a), quindi l'equazione di d è y=–1/4.
Con la calcolatrice grafica:
in Y=Editor, posto y1(x)= (x – 3)2, si ha la figura a fianco..
Il luogo dei punti P tali che dist(P,r)+dist(P,s) = k è un rettangolo (in questo caso un quadrato) che ha per diagonali le due rette, la cui lunghezza è 2k. I punti A e B sono dunque ottenibili dall'intersezione tra questa figura, in particolare uno dei suoi lati come si vede dal disegno a fianco, e la parabola.
A, B :.
Risolvendo dunque (x–3)^2=–x+3 si hanno le ascisse di A e B. Una soluzioone è evidentemente x=3 mentre l'altra si ha per x–3=–1, da cui x=2. In conclusione A(3,0), vertice della parabola, e B(2,1).
La tangente in A è la retta y=0 mentre la tangente in B, con la formula di applicata a y=x2–6x+9, ha equazione (y+1)/2=x·2–6(x+2)/2+9 cioè y= –2x+5. Nella figura si vede bene il triangolo di cui calcolare l'area.
Presa la base sull'asse x, di estremi in A e nel punto che ha ascissa x tale che 0=–2x+5, cioè x=5/2, tale area vale
(3–5/2)*1/2=1/4.
Scrivi l'equazione della famiglia di circonferenze che sono tangenti all'asse y e passanti per A(1,0). Spiega perché tale famiglia non è un fascio di circonferenze. Verifica che gli assi radicali tra la circonferenza di raggio unitario con centro O(0;0) e le circonferenze della famiglia data formano un fascio. Determina il luogo dei centri delle circonferenze appartenenti alla famiglia data.
Indicato con T(0,t) il punto di tangenza, il centro C della circonferenza passante per A e tangente all'asse y in T sarà intersezione tra la retta y=t e l'asse della corda AT: y–t/2=1/t·(x–1/2). Da t–t/2=1/t·(x–1/2) si ricava x= t2/2+1/2; perciòC(t2/2+1/2, t). L'equazione della circonferenza di centro C e raggio t2/2+1/2 è allora
(x– t2/2–1/2)2+(y–t)2 = (t2/2+1/2)2
da cui, semplificando,
x2+y2–( t2+1)x–2t·y+t2=0.
Poiché non è possibile scrivere questa equazione come combinazione lineare delle equazioni di due circonferenze – infatti il parametro t compare sia al primo sia al secondo grado –, la famiglia di circonferenze
Á che si ottiene al variare di t non può essere un fascio.
Siccome tutte le circonferenze passano per il punto A, secano la circonferenza
g di centro O e passante per A; dunque gli assi radicali passano tutti per A.
D'altra parte ogni retta che passa per A, tranne la retta x=1, interseca la circonferenza g in un altro punto B; per B passano due circonferenze della famiglia Á solo
se B ha ascissa positiva, quindi non ogni retta per A è asse radicale (solo quelle che hanno pendenza m>1 oppure m<-1).
Il luogo dei centri C delle circonferenze della famiglia
Á sono equidistanti dal punto A e dall'asse y, descrivono dunque una parabola di fuoco A e direttrice x=0. L'equazione di tale parabola di asse di simmetria coincidente con l'asse x e vertice V(1/2,0) è del tipo
x=a·y2+1/2
con a=1/(4f) =1/2 se f è la distanza tra vertice e fuoco.
Disegna il grafico della funzione . Mostra come lo si può ottenere dal grafico della radice quadrata mediante traslazioni lungo gli assi coordinati e simmetrie rispetto agli stessi. Determina l'area della figura delimitata da questo grafico e dall'asse delle x.
La calcolatrice, in ambiente Home, conferma che y5(x) è la funzione data. Il suo grafico, scelta una più opportuna finestra è il seguente,
formato da due archi di parabola – che derivano dall'arco di parabola grafico della radice–:
Anche per il calcolo dell'area richiesta si può procedere cercando prima quella del segmento parabolico che ha estremi (–1,4) e (15,0) e poi sottraendo il doppio di tale area a quella del triangolo di vertici (–17,0) e (–1,4) e (15,0).
L'area del segmento parabolico è 4/3 dell'area del triangolo di vertici (–1,4), (15,0) e (3,2), il punto di tangenza della parallela alla corda.
Poiché da abs(det({{–1,4,1},{3,2,1},{15,0,1}}))/2 risulta 8,
l'area del segmento parabolico è 32/3, quindi l'area richiesta è 16·4–32/3 = 128/3.
. 
or 
. 
. Mostra come lo si può ottenere dal grafico della radice quadrata mediante traslazioni lungo gli assi coordinati e simmetrie rispetto agli stessi. Determina l'area della figura delimitata da questo grafico e dall'asse delle x.
